Question

已知数列{a_n}中a₁=2，前n项的和为S_n，且4tS_n+1-（3t+8）S_n=8t，其中t＜-3，n∈N*；
（1）证明数列{a_n}为等比数列；
（2）判定{a_n}的单调性，并证明．

Answer 1

解（1）证明：∵4tS_n+1-（3t+8）S_n=8t①
当n=1时，4t（a₁+a₂）-（3t+8）a₁=8t而a₁=2（2分）
又∵4tS_n-（3t+8）S_n-1=8t②（n≥2）
由①②得4ta_n+1-（3t+8）a_n=0
即（n≥2，∴t＜-3）（4分）
而
∴{a_n}是等比数列（8分）

（2）∵a_n=2（＞0（∵t＜-3）（12分）
∵t＜-3∴（14分）
则
∴{a_n}为递减数列（16分）
分析：（1）由4tS_n+1-（3t+8）S_n=8t按照通项与前n项和间的关系，分当n=1和n≥2两种情况探求得4ta_n+1-（3t+8）a_n=0，进而变形得（n≥2，∴t＜-3）由等比数列的定义判断．
（2）因为是正项数列，可用作商比较法＜1得到{a_n}为递减数列．
点评：本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系和判断数列的方法，一般用定义或通项公式，证明数列是单调数列时往往用比较法．