Question

如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥面ABCD，PC=2a，E、F分别是PA和AB的中点．
（1）求证：EF∥面PBC；
（2）求证：平面PDB⊥平面PAC；
（3）求EF与平面PAC所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的中线平行于底边，由线线平行⇒线面平行即可；
（2）证明BD垂直于平面PAC中的两条相交直线，再由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直；
（3）根据平行线与同一平面所成的角相等，转化为PB与平面所成的角，再解三角形即可．

解答：解：（1）证明：∵AE=PE，AF=BF，∴EF∥PB
又 EF?平面PBC，PB?平面PBC，
∴EF∥平面PBC
（2）证明∵PC⊥面ABCD∴PC⊥BD
∵四边形ABCD为菱形∴AC⊥BD
又∵PC∩AC=C
∴BD⊥面PAC∵BD?面PBD
∴面PBD⊥面PCD
（3）记BD∩AC=O，连PO．由 （2）知BD⊥面PAC
又EF∥PB，∴∠BPO为EF与平面PAC所成的角
在△ABC中∵BC=a，∠ABC=60°，∴CO=

a

2

，BO=

3

2

a．
在Rt△POC中PO=

CO2+PC2

=

17

2

a，故 tan∠BPO=

BO

PO

=

51

17

所以直线EF与平面PAC所成的角的正切值为

51

17

点评：本题考查线面平行的判定、面面垂直的判定及直线与平面所成的角．求直线与平面所成的角常用方法是：1、作角（垂线），2、证角（符合定义）、3求角（解三角形）．