Question

判断命题“若a≥0，则x²＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根，其逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0． 　　∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a＜0． 　　∴a＜＜0． 　　∴“x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”是真命题． 　　解法二：∵a≥0，∴4a≥0，4a＋1＞0． 　　∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1＞0．∴方程x2＋x－a＝0有实根． 　　∴原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真命题．又∵原命题和它的逆否命题同真假， 　　∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真命题． 　　解法三：命题p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根， 　　∴p：A＝{a∈R|a≥0}，q：B＝{a∈R|x2＋x－a＝0有实根}＝{a∈R|a≥0}． 　　∵a≥0，∴4a＋1＞0．∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，即AB．∴“若p则q”为真命题． 　　∴其逆否命题“若p则q”为真命题． 　　∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真命题． 　　解法四：设p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，则p：a＜0，q：x2＋x－a＝0无实根， 　　∴p：A＝{a∈R|a＜0}，q：B＝{a∈R|x2＋x－a＝0无实根}＝{a∈R|a＜}． 　　∵BA，∴“若q则p”为真命题， 　　即“若方程x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真命题．

提示：

可以直接判断逆否命题的真假，也可以判断一个与之等价的命题的真假．