Question

9．关于函数f（x）=1-$\frac{1}{2}$cosx-（$\frac{1}{2}$）^|x|，有下面四个结论：①f（x）是奇函数；②当x＞2006时，f（x）＞$\frac{1}{2}$恒成立；③f（x）的最大值是$\frac{3}{2}$；④f（x）的最小值是$\frac{1}{2}$．其中正确结论的序号是④．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性，单调性和最值的性质分别进行判断即可得到结论．

解答 解：①函数的定义域为（-∞，+∞），
则f（-x）=1-$\frac{1}{2}$cos（-x）-（$\frac{1}{2}$）^|-x|=1-$\frac{1}{2}$cosx-（$\frac{1}{2}$）^|x|=f（x），
则函数f（x）是偶函数，故①错误，
②当x=1000π=1000π时，满足x＞2006，
此时f（1000π）=1-$\frac{1}{2}$cos1000π-（$\frac{1}{2}$）^|1000π|=$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{2}$）^|1000π|＜$\frac{1}{2}$，
此时f（x）＞$\frac{1}{2}$不成立，故②错误，
③∵$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{2}$cosx≤$\frac{3}{2}$，-1≤-（$\frac{1}{2}$）^|x|＜0，
∴，-$\frac{1}{2}$＜1-$\frac{1}{2}$cosx-（$\frac{1}{2}$）^|x|＜$\frac{3}{2}$，取不到$\frac{3}{2}$，
故f（x）的最大值是$\frac{3}{2}$错误，故③错误，
④当x=0时，$\frac{1}{2}$cosx，（$\frac{1}{2}$）^|x|，同时取得最大值，
此时f（x）取得最小值f（0）=1-$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{2}$）⁰=$\frac{1}{2}$，
即④f（x）的最小值是$\frac{1}{2}$．
故④正确，
故答案为：④．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，最值，单调性的性质，考查函数性质的综合应用．