Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=3ⁿ+3a_n-1（n≥2，n∈N^*），求通项公式a_n．

Answer 1

分析 把已知数列递推式两边同时除以3ⁿ，可得数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{{3}^{1}}=\frac{1}{3}$为首项，以1为公差的等差数列，然后由等差数列的通项公式求得答案．

解答 解：由a_n=3ⁿ+3a_n-1，得${a}_{n}-3{a}_{n-1}={3}^{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}=1$（n≥2），
即数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{{3}^{1}}=\frac{1}{3}$为首项，以1为公差的等差数列，
则$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{1}{3}+（n-1）×1=n-\frac{2}{3}$，
则${a}_{n}=（n-\frac{2}{3}）•{3}^{n}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．