Question

13．若数列{a_n}满足a_n=qⁿ（q≠0，n∈N^*）给出以下四个命题：①{a_2n}是等比数列；②{lga_n}是等差数列；③{2${\;}^{{a}_{n}}$}是等比数列；④{lga_n²}是等差数列．其中正确的有（　　）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ②③
• D． ①④

Answer 1

分析 由a_n=qⁿ可得a_2n=q²ⁿ，从而可得①正确；举反例可说明②③不正确，从而确定答案．

解答 解：∵a_n=qⁿ，∴a_2n=q²ⁿ，
∴{a_2n}是等比数列，
故①正确；
∵当q＜0时，lga_n不一定存在，
故②不正确；
若q=2，则a₁=2，a₂=4，a₃=8，…；
故{2${\;}^{{a}_{n}}$}不是等比数列，
故③不正确；
lga_n²=2lg|a_n^|=2nlg|q|，
故{lga_n²}是等差数列，
故④正确；
故选：D．

点评 本题考查了等比数列的性质的应用及等差数列的判断．