Question

2．已知各项均为正数的等差数列{a_n}满足：a₄=2a₂，且a₁，4，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求同时满足下列条件的所有a_n的和：①20≤n≤116；②n能够被5整除．

Answer 1

分析 （1）根据题意，列出方程组，求出首项a₁和公差d，写出通项公式即可；
（2）得出满足条件的n组成等差数列{b_n}，求出{b_n}的所有项的和，即可求出满足条件的所有a_n的和．

解答 解：（1）根据题意，等差数列{a_n}中，a₄=2a₂，且a₁，4，a₄成等比数列，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=2{（a}_{1}+d）}\\{{a}_{1}•{（a}_{1}+3d）=16}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，d=2；
∴数列{a_n}的通项公式为
a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
（2）∵a_n=2n，
且n同时满足：①20≤n≤116；②n能够被5整除，
∴满足条件的n组成等差数列{b_n}，
且b₁=20，d=5，b_n=115，
∴项数为$\frac{115-20}{5}$+1=20；
∴{b_n}的所有项的和为
S₂₀=20×20+$\frac{1}{2}$×20×19×5=1350，
∴满足条件的所有a_n的和为
2S₂₀=2×1350=2700．

点评 本题考查了等差数列的定义与性质的应用问题，也考查了等差数列前n项和的应用问题，是综合性题目．