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如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是正方形BCC1B1的中心,点F.G分别是棱C1D1,AA1的中点.设点E1,G1分别是点E,G在平面DCC1D1内的正投影.
(1)证明:直线FG1⊥平面FEE1
(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值.
(3)求四面体FGAE的体积.

解:(1)证明:以D为坐标原点,DA.DC.DD1所在直线
分别作x轴,Y轴,Z轴,得E1(0,2,1),G1(0,0,1),又G(2,0,1),F(0,1,2),E(1,2,1),则=(0,-1,-1),=(1,1,-1),=(0,1,-1),┉┉(2分)
=0+(-1)+1=0,
=0+(-1)+1=0,即FG1⊥FE,FG1⊥FE1
又FE1∩FE=F,∴直线FG1⊥平面FEE1(4分)
(2)=(0,-2,0),=(1,-2,-1),┉┉(5分)
==,┉┉(7分)
设异面直线E1G1与EA所成角为θ,则sinθ==.┉┉(8分)
(3)∵A.G.A1,F共面,且G是AA1的中点,
∴VE-AGF=VE-A1GF.┉┉(10分)
取B1C1.的中点为M,所以EM∥A1G,∴EM∥平面A1GF,
∴VE-AGF=VE-A1GF=VM-A1GF=VG-A1MF==┉┉(14分)
分析:(1)以D为坐标原点,DA.DC.DD1所在直线,分别作x轴,Y轴,Z轴,分别出各顶点的坐标,及直线FG1的方向向量和平面FEE1的法向量,然后判断两个向量是否共线,即可得到直线FG1⊥平面FEE1是否成立;
(2)分别求出异面直线E1G1与EA的方向向量,然后代入向量夹角公式,即可得到异面直线E1G1与EA所成角的正弦值.
(3)根据棱锥的几何特征及已知条件,我们可以得到VE-AGF=VE-A1GF=VM-A1GF=VM-A1GF,求出四面体的底面积和高,代入棱锥体积公式,即可得到答案.
点评:本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,棱锥的体积,异面直线豚其所成的角,建立空间坐标系,将线面关系的判定,及线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键.
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