Question

已知向量

a

=(2cos

x

2

，tan(

x

2

+

π

4

))，

b

=(

2

sin(

x

2

+

π

4

)，tan(

x

2

-

π

4

))，令f（x）=

a

•

b

（1）求函数f（x）的最小正周期，并写出f（x）在[0，π]上的单调递增区间．
（2）若f（x）=-

4 2

5

且

17π

12

＜x＜

7π

4

，求

2x+2sin2x

1-tanx

的值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式，两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，化简函数f（x）的解析式为

2

sin（x+

π

4

 ），可得函数的最小正周期等于2π，在[0，

π

4

]上的单调递增．
（2）由f（x）=-

4 2

5

，可得sin（x+

π

4

 ） 的值，从而求得 tan（x+

π

4

 ） 的值，由

sin2x+2sin2x

1-tanx

=[1-2cos2(x+

π

4

)]•tan（x+

π

4

） 求出结果．

解答：解：（1）函数f（x）=

a

 •

b

=2

2

cos

x

2

sin（

x

2

+

π

4

）+tan（

x

2

+

π

4

）tan（

x

2

-

π

4

）
=2

2

cos

x

2

（

2

2

sin

x

2

+

2

2

cos

x

2

 ）+

1+ tan x 2

1- tan x 2

•

tan x 2 -1

1+  tan x 2

=2sin

x

2

cos

x

2

+2cos2

x

2

-1
=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

 ），故函数的最小正周期等于2π，f（x）在[0，

π

4

]上的单调递增．
（2）若f（x）=

2

sin（x+

π

4

 ）=-

4 2

5

，∴sin（x+

π

4

 ）=

-4

5

，由

5π

3

＜x+

π

4

＜ 2π，
∴cos（x+

π

4

 ）=

3

5

，∴tan（x+

π

4

 ）=

-4

3

，
∴

sin2x+2sin2x

1-tanx

=sin2x•

1+tanx

1-tanx

=-cos（2x+

π

2

 ）•tan（x+

π

4

）=[1-2cos2(x+

π

4

)]•tan（x+

π

4

） 
=[1-2(

3

5

)2]•（-

4

3

）=-

28

75

．

点评：本题考查两个向量的数量积公式，两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，式子的变形是解题的关键．