Question

（2012•普陀区一模）若一个底面边长为

3

2

，侧棱长为

6

的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为

9π

2

．

Answer 1

分析：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O₁，O₂，球心为O，一个顶点为A，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．

解答：解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，
设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O₁，O₂，则球心O是O₁，O₂的中点．
∵正六棱柱底面边长为

3

2

，侧棱长为

6

∴Rt△AO₁O中，AO₁=

3

2

，O₁O=

6

2

，可得AO=

AO12+O1O2

=

3

2

因此，该球的体积为V=

4

3

π•（

3

2

）³=

9π

2

故答案为：

9π

2

点评：本题给出一个正六棱柱，求它的外接球的体积，着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点，属于基础题．