Question

（本题满分12分）

在正三角形中，、、分别是、、边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△沿折起到的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）
（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B－A₁P－F的大小（用反三角函数表示）

Answer 1

.解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3
（1）      在图1中，取BE中点D，连结DF. AE：EB=CF：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=60⁰ , ∴△ADF是正三角形，又AE="DE=1," ∴EF⊥AD在图2中，A₁E⊥EF, BE⊥EF, ∴∠A₁EB为二面角A_1－EF－B的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A₁E⊥BE,又∴A₁E⊥平面BEF,即 A₁E⊥平面BEP
（2）      在图2中，A₁E不垂直A₁B, ∴A₁E是平面A₁BP的垂线，又A₁E⊥平面BEP，
∴A₁E⊥BE.从而BP垂直于A₁E在平面A₁BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A₁E在平面A₁BP内的射影为A₁Q,且A₁Q交BP于点Q,则∠E₁AQ就是A₁E与平面A₁BP所成的角,且BP⊥A₁Q.在△EBP中, BE=EP=2而∠EBP=60⁰ , ∴△EBP是等边三角形.又 A₁E⊥平面BEP , ∴A₁B=A₁P, ∴Q为BP的中点,且,又 A₁E=1,在Rt△A₁EQ中，,∴∠EA₁Q=60^o,
∴直线A₁E与平面A₁BP所成的角为60⁰

（3）在图3中，过F作FM⊥ A₁P与M，连结QM,QF,∵CP=CF=1,
∠C=60⁰,∴△FCP是正三角形，∴PF=1.有
∴PF=PQ①,
∵A₁E⊥平面BEP,  ∴A₁E=A₁Q,
∴△A₁FP≌△A₁QP从而∠A₁PF=∠A₁PQ②,
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,
∴∠QMP=∠FMP=90^o,且MF=MQ,
从而∠FMQ为二面角B－A₁P－F的平面角.
在Rt△A₁QP中,A₁Q=A₁F=2,PQ=1,又∴. ∵ MQ⊥A₁P∴∴在△FCQ中,FC="1,QC=2," ∠C=60⁰,由余弦定理得
在△FMQ中，
∴二面角B－A₁P－F的大小为

略