Question

【题目】设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 2＜x≤3．
（1）若a=1，有p且q为真，求实数x的取值范围．
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．

命题q中：实数x满足 2＜x≤3．

若a=1，则p中：1＜x＜3，

∵p且q为真，∴ ，解得2＜x＜3，

故所求x∈（2，3）

（2）解：若p是q的充分不必要条件，

则q是p 的充分不必要条件，

∴ ，解得1＜a≤2，

∴a的取值范围是（1，2]

【解析】（1）命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．若a=1，则p中：1＜x＜3，由p且q为真，可得p与q都为真，即可得出．（2）若p是q的充分不必要条件，可得q是p 的充分不必要条件，即可得出．