Question

【题目】数列{an}满足Sn=2n﹣an（n∈N*）． （Ⅰ）计算a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通项公式an；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=2﹣a1 ， 所以a1=1． 当n=2时，a1+a2=s2=2×2﹣a2 ， 所以 ．
同理： ， ．
由此猜想
（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立．
②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即 ，
那么n=k+1时，ak+1=sk+1﹣sk=2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1 ，
所以2ak+1=2+ak ， 所以 ，
这表明n=k+1时，结论成立．
由①②知对一切n∈N*猜想 成立
【解析】（Ⅰ）通过n=1，2，3，4，直接计算a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通项公式 ；（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设 ，证明．