Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx，且f(x+1)为偶函数，定义：满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的不动点，若函数f(x)有且仅有一个不动点，

(1)求f(x)的解析式；

(2) 若函数g(x)= f(x)++x²在 (0，]上是单调减函数，求实数k的取值范围；

(3)在(2)的条件下，是否存在区间[m，n](m<n)，使得f(x)在区间[m，n]上的值域为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）f(x)= -x²+x；（2）k；（3）同解析。

解析:

 (1)f(x+1) =a(x+1) ²+b(x+1) = ax ²+(2a+b)x+a+b为偶函数，

∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f(x)=ax²-2ax，′

∵函数f(x)有且仅有一个不动点，∴方程f(x)=x有且仅有一个解，

∴ax²-(2a+1)x=0有且仅有一个解，∴2a+1=0，a=-，∴f(x)= -x²+x

(2) g(x)= f(x)++x²=x+在 (0，]上是单调增函数，

当k0时，g(x)= x+在(0，+)上是单调增函数，∴不成立；′

当k>0时，g(x)= x+在(0，]上是单调减函数，∴，∴k

（3）∵f(x)= -x²+x= -(x-1)²+，∴kn，∴n<1，

∴f(x)在区间[m，n]上是单调增函数

∴，即，方程的两根为0，2-2k′

当2-2k>0，即k<1时，[m，n]= [0，2-2k]

当2-2k<0，即k>1时，[m，n]= [2-2k，0]′

当2-2k=0，即k=1时，[m，n] 不存在′