Question

已知动圆过定点(,0)，且与直线x=-相切，其中p＞0：

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β为定值θ(0＜θ＜π＝时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

解：（1）设动圆圆心为M(x,y)，则,

∴y²=2px(p＞0).

（2）设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),由题意得x₁≠x₂（否则α+β=π）且x₁,x₂≠0，所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，显然x₁=,x₂=，

将y=kx+b代入y²=2px去x得ky²-2py+2pb=0，

由韦达定理知，?

y₁+y₂=,y₁·y₂=.①

a.当θ=时，?

即α+β=，tanα·tanβ=1，

∴=1,即x₁x₂-y₁y₂=0.

∴y₁y₂=4p².

由①式知=4p²,∴b=2pk.

因此，直线AB的方程可表示为y=kx+2pk，

即k(x+2p)-y=0,∴直线AB恒过定点(-2p,0).

b.当θ≠时，由α+β=θ得

tanθ=tan(α+β)=，

将①式代入上式整理化简，得tanθ=,∴b=+2pk，

此时，直线AB的方程可表示为

y=kx++2pk，即k(x+2p)-(y-)=0.

∴直线AB恒过定点(-2p,).

根据a、b可知，当θ=时，AB恒过定点(-2p,0)；

当θ≠时，直线AB恒过定点(-2p,).