Question

已知sinα+cosα=

3 5

5

，α∈（0，

π

4

），sin（β-

π

4

）=

3

5

，β∈（

π

4

，

π

2

）．
（1）求sin2α和tan2α的值；
（2）求cos（α+2β）的值．

Answer 1

（1）由题意得（sinα+cosα）²=

9

5

，
即1+sin2α=

9

5

，∴sin2α=

4

5

．
又2α∈（0，

π

2

），∴cos2α=

1-sin22α

=

3

5

，∴tan2α=

sin2α

cos2α

=

4

3

．
（2）∵β∈（

π

4

，

π

2

），β-

π

4

∈（0，

π

4

），∴cos（β-

π

4

）=

4

5

，
于是sin2（β-

π

4

）=2sin（β-

π

4

）cos（β-

π

4

）=

24

25

．
又sin2（β-

π

4

）=-cos2β，∴cos2β=-

24

25

．
又2β∈（

π

2

，π），∴sin2β=

7

25

．
又cos²α=

1+cos2α

2

=

4

5

，
∴cosα=

2

5

，sinα=

1

5

（α∈（0，

π

4

））．
∴cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β
=

2 5

5

×（-

24

25

）-

5

5

×

7

25

=-

11 5

25

．