Question

设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

，函数y=f（x+

π

2

）为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若α为锐角，f（

α

2

+

π

12

）=

3

5

，求sin2α的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,二倍角的正弦

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得，函数的周期为

2π

ω

=π，求得ω=2．再根据函数y=f（x+

π

2

）=sin（2x+π+φ）为偶函数，求得φ=

π

2

，可得f（x）的解析式．
（2）由条件求得cos（α+

π

6

）和sin（α+

π

6

）的值，利用二倍角公式求得sin（2α+

π

3

）和cos（2α+

π

3

）的值，再根据sin2α=sin[（2α+

π

3

）-

π

3

]，利用两角差的正弦公式计算求得结果．

解答： 解：（1）由题意可得，函数的周期为

2π

ω

=π，求得ω=2．
再根据函数y=f（x+

π

2

）=sin（2x+π+φ）为偶函数，可得π+φ=kπ+

π

2

，k∈z，
即 φ=kπ-

π

2

，k∈z，结合0＜φ＜π，可得φ=

π

2

，∴f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x．
（2）∵α为锐角，f（

α

2

+

π

12

）=cos（α+

π

6

）=

3

5

，∴sin（α+

π

6

）=

4

5

．
∴sin（2α+

π

3

）=2sin（α+

π

6

）cos（α+

π

6

）=

24

25

，cos（2α+

π

3

）=2cos2(α+

π

6

)-1=-

7

25

，
∴sin2α=sin[（2α+

π

3

）-

π

3

]=sin（2α+

π

3

）cos

π

3

-cos（2α+

π

3

）sin

π

3

=

24

25

×

1

2

-（-

7

25

）×

3

2

=

24+7 3

50

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的周期性，属于中档题