Question

已知f（x）=

3x，x≥0 πx，x＜0

，若对任意x∈[-1-a，a-1]，不等式f（

2

x-a）≥[f（x）]²恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，

  4- 2

  7

  ]
• B、（0，

  4- 3

  7

  ]
• C、（1，

  4- 2

  7

  ]
• D、（1，

  2+ 2

  7

  ]

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由分段函数得[f（x）]²=f（2x），将不等式恒成立问题转化为对任意x∈[-1-a，a-1]，不等式f（

2

x-a）≥f（2x）恒成立，由f（x）的单调性得到

2

x-a≥2x，运用参数分离，以及函数的单调性，求出a的范围．

解答： 解：∵f（x）=

3x，x≥0 πx，x＜0

，
∴[f（x）]²=f（2x），
∵对任意x∈[-1-a，a-1]，不等式f（

2

x-a）≥[f（x）]²恒成立，
即对任意x∈[-1-a，a-1]，不等式f（

2

x-a）≥f（2x）恒成立，
∵f（x）在R上是增函数，
∴

2

x-a≥2x，即a≤-（2-

2

）x，
又x∈[-1-a，a-1]，
∴当x=a-1时，-（2-

2

）x取最小值-（2-

2

）（a-1），
∴a≤-（2-

2

）（a-1），解得a≤

4- 2

7

，
又a-1＞-1-a，即a＞0，
故0＜a＜

4- 2

7

．
故选：A．

点评：本题考查分段函数及应用，考查函数的单调性和运用，考查解不等式的运算，及恒成立问题的解决方法：参数分离法，属于中档题．