Question

已知m为常数，函数f（x）=

m-2x

1+m•2x

为奇函数．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若m＞0，试判断f（x）的单调性（不需证明）；
（Ⅲ）当m＞0时，若存在x∈[-2，2]，使得f（e^x+x-k）+f（2）≤0能成立，求实数k的最大值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）直接由f（-x）=-f（x）恒成立整理得到（m²-1）（2^x+1）=0恒成立，由此求得m的值；
（Ⅱ）当m＞0时有m=1，代入原函数借助于指数函数的单调性判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）判断出函数f（x）的奇偶性，结合单调性把存在x∈[-2，2]，使得f（e^x+x-k）+f（2）≤0能成立，
转化为存在x∈[-2，2]，使得k≤e^x+x+2能成立．利用导数求出函数g（x）=e^x+x+2在[-2，2]上的最大值得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

m-2x

1+m•2x

为奇函数，
∴对于其定义域内的任意x有f（-x）=-f（x），即

m-2-x

1+m•2-x

=-

m-2x

1+m•2x

，整理得：（m²-1）（2^x+1）=0恒成立．
∴m²=1，m=±1；
（Ⅱ）若m＞0，则m=1，函数f（x）=

1-2x

1+2x

=-

2x+1-2

2x+1

=-1+

2

2x+1

．
∵2^x为增函数，
∴f（x）=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1为减函数；
（Ⅲ）当m＞0时，函数f（x）为减函数，
又f（-x）=

1-2-x

1+2-x

=

2x-1 2x

2x+1 2x

=-

1-2x

1+2x

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．
由存在x∈[-2，2]，使得f（e^x+x-k）+f（2）≤0能成立，得
存在x∈[-2，2]，使得f（e^x+x-k）≤-f（2）=f（-2）能成立．
即e^x+x-k≥-2，也就是k≤e^x+x+2能成立．
令g（x）=e^x+x+2．
则g′（x）=e^x+1＞1．
∴g（x）=e^x+x+2在[-2，2]上为增函数．
g(x)max=e2+4．
∴若存在x∈[-2，2]，使得f（e^x+x-k）+f（2）≤0能成立，则实数k的最大值为e²+4．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了函数的性质，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，解答此题（Ⅲ）的关键在于对题意的理解，是中档题．