Question

已知函数f（x）=4x³-4ax，当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f（x）|＞1的解集为空集，则满足条件的实数a的取值范围是（　　）

• A、(-∞，

  3

  4

  )
• B、(

  3

  4

  ，+∞)
• C、{

  3

  4

  }
• D、[1，+∞）

Answer 1

分析：由题意已知函数f（x）=4x³-4ax，当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f（x）|＞1的解集为空集，等价于当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f（x）|≤1的解集为全集．等价于当x∈[0，1]时，使得|f（x）|≤1恒成立，利用函数解析式特点选择求出函数在定义域下的最值求解即可．

解答：解：因为函数f（x）=4x³-4ax，当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f（x）|＞1的解集为空集?当x∈[0，1]时，使得|f（x）|≤1恒成立，
?x∈[0，1]时，-1≤4x³-4ax≤1恒成立，
?x∈[0，1]时，

4x3-4ax+1≥0 4x3-4ax-1≤0

恒成立，①
当x=0时，由上式可以知道：无论a取何实数都使该式①恒成立；
当x∈（0，1]时，由①可以等价于x∈（0，1]的一切数值均使得

a≤x2+ 1 4x =x2+ 1 8x + 1 8x a≥x2- 1 4x

恒成立，即

a≤ (x2+ 1 8x + 1 8x )min a≥(x2- 1 4x )max

而x2+

1

8x

+

1

8x

≥3

3	x2• 1 8x • 1 8x

=

3

4

（当且仅当x=

1

2

时取等号）；所以a≤

3

4

对于x2-

1

4x

，令g（x）=x2-

1

4x

(x∈(0，1])，则由此函数解析式可以得到；g（x）在定义域上位单调递增函数，所以此时该函数的最大值为：g（1）=

3

4

，所以a≥

3

4

，
综上要使得恒成立，则

a≤ 3 4 a≥ 3 4

即a=

3

4

．
故选C

点评：此题考查了函数在定义域内恒成立问题的等价转化，还考查了利用均值不等式及函数的单调性求函数在定义域下的最值．