Question

【题目】已知直线为椭圆的右准线，直线与轴的交点记为，过右焦点的直线与椭圆交于，两点.

（1）设点在直线上，且满足，若直线与线段交于点，求证：点为线段的中点；

（2）设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； （2）为定值0.

【解析】

（1）设直线的方程为，直线的方程为， 故直线的方程为.再联立椭圆方程和直线，根据韦达定理求出线段的中点为，满足直线方程，所以，直线与线段交点为线段的中点.

（2）当直线的斜率为0时， . 直线的斜率不为0时，计算直线的方程，求得点的坐标为，纵坐标与点相等，即，.

（1）由椭圆方程为知，右焦点坐标，椭圆的右准线方程为，点坐标.

①当直线的斜率不存在时，直线与线段交点即为右焦点，此时点为线段的中点.

②又由知，直线的斜率不为0，故设直线的方程为，

从而，直线的方程为，令得，点坐标为，

故直线的方程为.

联立方程组，消去得：，

设，，则，

即，，

从而，线段的中点.

又线段的中点的坐标满足直线方程，

所以，直线与线段交点为线段的中点.

综上可知，点为线段的中点.

（2）当直线的斜率为0时，点即为点，从而，故.

直线的斜率不为0时，

由（1）知，，，

所以，则.

直线的方程为，又，

令，得，

所以点的坐标为，纵坐标与点相等。

即，所以.

综上可知，为定值0.