Question

【题目】如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，分别是，的中点.

（1）证明：平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）证明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1＝B，推出AE⊥平面B1BCC1；

（2）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．

（1）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE底面ABC，∴AE⊥BB1，

∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，

∴AE⊥BC，BC∩BB1＝B，∴AE⊥平面B1BCC1；

（2）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（1）可知CG⊥平面A1ABB1，

直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G＝CG，

∴AA1，CF．

三棱锥F﹣AEC的体积：．