Question

【题目】如图，已知椭圆，为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，且，为椭圆上异于的两点，直线的斜率等于直线斜率的2倍.

（1）求直线与直线的斜率乘积值；

（2）求证：直线过定点，并求出该定点；

（3）求三角形的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，定点为；（3）

【解析】

（1）由题意可得：a＝2，，a2＝b2+c2，联立解出可得椭圆E的方程为：1．设P点坐标（x，y），y2（4﹣x2），则A（﹣2，0），B（2，0），利用斜率计算公式可得kAPkBP，由kBQ＝2kAP，可得kBPkBQ．

（2）当直线PQ的斜率存在时，设lPQ：y＝kx+t与x轴的交点为M，与椭圆方程联立得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由kBPkBQ＝﹣1，即0，利用数量积运算性质、根与系数的关系可得结论．

（3）由（2）可知： t．且S＝S△APQ＝S△APM+S△AQM|y1﹣y2|，利用根与系数的关系、函数的单调性可得S．当直线PQ的斜率不存在时，可得|PQ|，可得S．

（1）解：由题意可得：a＝2，，a2＝b2+c2，

联立解得a＝2，b＝c．

∴椭圆E的方程为：1．

设P点坐标（x，y），y2（4﹣x2），则A（﹣2，0），B（2，0），则

kAP，kBP，

则kAPkBP，

由kBQ＝2kAP，故kBPkBQ＝﹣1．

∴直线BP与直线BQ的斜率乘积为﹣1为定值．

（2）证明：当直线PQ的斜率存在时，设lPQ：y＝kx+t与x轴的交点为M，联立，

整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4＝0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2，x1x2，

由kBPkBQ＝﹣1，即0，则y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0，

得（k2+1）x1x2+（kt﹣2）（x1+x2）+4+t2＝0，

4k2+8kt+3t2＝0，得t＝﹣2k或tk．y＝k（x﹣2）或y＝k（x），

所以过定点（2，0）或（，0），

A（2，0）为椭圆的右顶点，舍去，

当直线PQ的斜率不存在时，当时易得 ，满足0

综上直线PQ过定点M（，0）．

（3）解：由（2）可知：当直线PQ的斜率存在时，t

S＝S△APQ＝S△APM+S△AQM|y1﹣y2|

，令m∈（0，1），则S，

当直线PQ的斜率不存在时，由（2）|PQ|，可得S．

综上可得：当PQ⊥x轴时，三角形APQ的面积S取得最大值．