Question

若不等式（a-1）x²-（a-1）x-1＜0对一切的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

（-3，1]
分析：要分别考虑二次项系数为0和不为0两种情况，当二次项系数为0时，只要验证是否对一切x∈R成立即可；当二次项系数不为0时，主要用二次函数开口方向和判别式求出a的取值范围．最后两种情况下求并集即可．
解答：若a-1=0，
则不等式（a-1）x²-（a-1）x-1＜0即-1＜0对一切的x∈R恒成立，
所以a=1可取；
设f（x）=（a-1）x²-（a-1）x-1，
当a-1＜0且△=[-（a-1）]²+4（a-1）＜0，解得：-3＜a＜1．…
即-3＜a＜1时不等式对一切x∈R恒成立，
故实数a的取值范围是（-3，1]．…
故答案为：（-3，1]．
点评：本题主要考查二次函数恒成立问题，考虑二次项系数为0的情况容易忽略，所以也是易错题．