Question

8．在平面直角坐标系xOy中，F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左，右焦点．设不经过焦点F₁的直线l与椭圆交于两个不同的点A，B，焦点F₂到直线l的距离为d．如果直线AF₁、l、BF₁的斜率依次成等差数列，求d的取值范围．

Answer 1

分析 通过设直线l的方程y=kx+m，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），通过x₁、x₂满足方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+（kx+m）²=1、利用根的判别式大于零、化简可知2k²+1＞m²，利用直线AF₁、l、BF₁的斜率$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$、k、$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$依次成等差数列及y₁=kx₁+m、y₂=kx₂+m、计算可知x₁+x₂+2=0，结合韦达定理可知m=k+$\frac{1}{2k}$，进而可知|k|＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，通过点到直线的距离公式、结合|k|＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$、通过换元t=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$、化简可知点F₂（1，0）到直线l：y=kx+m的距离d=$\frac{1}{2}$•（t+$\frac{3}{t}$），通过借助函数f（t）=$\frac{1}{2}$•（t+$\frac{3}{t}$）在[1，$\sqrt{3}$]上单调递减可知f（$\sqrt{3}$）＜d＜f（1），进而计算即得结论．

解答 解：∵F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左、右焦点，
∴F₁（-1，0），F₂（1，0），
设直线l的方程为：y=kx+m，点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
则x₁、x₂满足方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+（kx+m）²=1，即（2k²+1）x²+4kmx+（2m²-2）=0，①
由于点A、B不重合，且直线l的斜率存在，
故x₁、x₂是方程①的两个不同实根，
因此△=（4km）²-4•（2k²+1）•（2m²-2）=8（2k²+1-m²）＞0，
即2k²+1＞m²，②
∵直线AF₁、l、BF₁的斜率$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$、k、$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$依次成等差数列，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=2k，
又∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，
∴（kx₁+m）•（x₂+1）+（kx₂+m）•（x₁+1）=2k（x₁+1）•（x₂+1），
化简并整理得：（m-k）（x₁+x₂+2）=0．
假设m=k，则直线l的方程为：y=kx+k，即直线l经过点F₁（-1，0），不符合条件，
∴x₁+x₂+2=0，
由方程①及韦达定理可知：$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$=-（x₁+x₂）=2，即m=k+$\frac{1}{2k}$，③
由②、③可知，2k²+1＞m²=$（k+\frac{1}{2k}）^{2}$，
化简得：k²＞$\frac{1}{4{k}^{2}}$，这等价于：|k|＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
反正，当m、k满足③及|k|＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，直线l必不经过F₁（-1，0）（否则将导致m=k，与③矛盾），
而此时m、k满足②，从而直线l与椭圆有两个不同的交点A、B，同时也保证了AF₁、BF₁的斜率存在
（否则x₁、x₂中的某一个为-1，结合x₁+x₂+2=0可知x₁=x₂=-1，与方程①有两个不同的实根矛盾），
记点F₂（1，0）到直线l：y=kx+m的距离为d，
则d=$\frac{|k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$|2k+\frac{1}{2k}|$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}}$•$（2+\frac{1}{2{k}^{2}}）$，④
注意到|k|＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，令t=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$，则t∈（1，$\sqrt{3}$），
从而④式可改写为：d=$\frac{1}{t}$•（$\frac{{t}^{2}}{2}$+$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}$•（t+$\frac{3}{t}$），⑤
考虑到函数f（t）=$\frac{1}{2}$•（t+$\frac{3}{t}$）在[1，$\sqrt{3}$]上单调递减，
故由⑤可知f（$\sqrt{3}$）＜d＜f（1），
即d∈（$\sqrt{3}$，2）．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线、数列的综合题，考查运算求解能力，综合性较强，注意解题方法的积累，属于难题．