Question

13．某加油站工作人员根据以往该加油站的销售情况，绘制了该加油站日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求未来3天内，连续2天日销量不低于40吨，另一天日销量低于40吨的概率；
（Ⅱ）用X表示未来3天内日销售量不低于40吨的天数，求随机变量X的分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图，得到日销售量不低于40吨的频率为0.4，记未来3天内，第i天日销售量不低于40吨为事件A_i（i=1，2，3），则P（A_i）=0.4，未来3天内，连续2天日销售量不低于40吨，另一天日销售量低于40吨包含两个互斥事件${A}_{1}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$和$\overline{{A}_{1}}{A}_{2}{A}_{3}$，由此能求出未来3天内，连续2天日销量不低于40吨，另一天日销量低于40吨的概率．
（2）由题意，得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列及期望．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得到日销售量不低于40吨的频率为：
10×（0.025+0.015）=0.4，
记未来3天内，第i天日销售量不低于40吨为事件A_i（i=1，2，3），
则P（A_i）=0.4，
未来3天内，连续2天日销售量不低于40吨，另一天日销售量低于40吨包含两个互斥事件${A}_{1}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$和$\overline{{A}_{1}}{A}_{2}{A}_{3}$，
则P（${A}_{1}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$∪$\overline{{A}_{1}}{A}_{2}{A}_{3}$）=P（${A}_{1}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$）+P（$\overline{{A}_{1}}{A}_{2}{A}_{3}$）
=0.4×0.4×（1-0.4）+（1-0.4）×0.4×0.4
=0.192．
（2）由题意，得X的可能取值为0，1，2，3，相应的概率分别为：
P（X=0）=（1-0.4）³=0.216，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}×0.4×（1-0.4）^{2}=0.432$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}×0．{4}^{2}×（1-0.4）=0.288$，
P（X=3）=0.4³=0.064．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

EX=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意互斥事件的概率计算公式的合理运用．