Question

5．已知函数f（x）=ln（2x+1）+$\frac{{x}^{2}+x}{8}$，则曲线在点（x，y）处切线的倾斜角的范围是[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率，由基本不等式可得切线的斜率的范围，由直线的斜率公式，结合正切函数的图象和直线的倾斜角的范围，即可得到所求范围．

解答 解：函数f（x）=ln（2x+1）+$\frac{{x}^{2}+x}{8}$的导数为f′（x）=$\frac{2}{2x+1}$+$\frac{1}{8}$（2x+1），
由2x+1＞0，可得$\frac{2}{2x+1}$+$\frac{1}{8}$（2x+1）≥2$\sqrt{\frac{2}{2x+1}•\frac{2x+1}{8}}$=1，
当且仅当2x+1=4，即x=$\frac{3}{2}$时，取得最小值1．
即有曲线在点（x，y）处切线的斜率k≥1，
即有tanα≥1（α为倾斜角），
则有$\frac{π}{4}$≤α＜$\frac{π}{2}$．
故答案为：[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的范围，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．