Question

1．若等差数列{a_n}满足a₁²+a₃²=2，则$\frac{{{a}_{3}}^{2}+{{a}_{4}}^{2}}{{{a}_{4}}^{2}+{{a}_{5}}^{2}}$的取值范围是（　　）

• A． [1，3]
• B． [$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$十1]
• C． [3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$]
• D． [4-2$\sqrt{3}$，4+2$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 利用等差数列的性质求出a4yu 公差d的范围，然后利用基本不等式求解表达式的范围．

解答 解：设等差数列的公差为d，由a₁²+a₃²=2，得
$（{a}_{4}-3d）^{2}+（{a}_{4}-d）^{2}=2$，
化为：$5{d}^{2}-4{a}_{4}d+{{a}_{4}}^{2}-1=0$，
由判别式△≥0，得：16${{a}_{4}}^{2}$-20（${{a}_{4}}^{2}$-1）≥0，
即${{a}_{4}}^{2}≤5$，
同样可以算出d²≤1．
则$\frac{{{a}_{3}}^{2}+{{a}_{4}}^{2}}{{{a}_{4}}^{2}+{{a}_{5}}^{2}}$=$\frac{{{（a}_{4}-d）}^{2}+{{a}_{4}}^{2}}{{{a}_{4}}^{2}+（{{a}_{4}+d）}^{2}}$=$\frac{{2{a}_{4}}^{2}-{2{a}_{4}d+d}^{2}}{{{2a}_{4}}^{2}+{2{a}_{4}d+d}^{2}}$=1-$\frac{{4{a}_{4}d}^{\;}}{{{2a}_{4}}^{2}+{2{a}_{4}d+d}^{2}}$=1-$\frac{4}{\frac{{2a}_{4}}{d}+\frac{d}{{a}_{4}}+2}$，
当$\frac{d}{{a}_{4}}为正时$，1-$\frac{4}{\frac{{2a}_{4}}{d}+\frac{d}{{a}_{4}}+2}$≥1-$\frac{4}{2\sqrt{\frac{{2a}_{4}}{d}×\frac{d}{{a}_{4}}}+2}$=3-2$\sqrt{2}$．
满足等号的条件，$\frac{2{a}_{4}}{d}=\frac{d}{{a}_{4}}$，
$\frac{d}{{a}_{4}}为负时$，1-$\frac{4}{\frac{{2a}_{4}}{d}+\frac{d}{{a}_{4}}+2}$=1-$\frac{4}{-（-\frac{{2a}_{4}}{d}+\frac{d}{-{a}_{4}}）+2}$
=1+$\frac{4}{（-\frac{{2a}_{4}}{d}+\frac{d}{-{a}_{4}}）-2}$≤$1+\frac{4}{2\sqrt{（-\frac{{2a}_{4}}{d}）×（\frac{d}{-{a}_{4}}）}-2}$=3+2$\sqrt{2}$，
$\frac{{{a}_{3}}^{2}+{{a}_{4}}^{2}}{{{a}_{4}}^{2}+{{a}_{5}}^{2}}$的取值范围是：[3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$]．
故选：C．

点评 本题考查数列的基本性质的应用，基本不等式求解表达式的最值的求法，考查计算能力．