Question

对于函数f(x)=

1

x

(x＞0)定义域中任意x₁，x₂（x₁≠x₂）有如下结论：
①f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）；  ②f（x₁x₂）=f（x₁）f（x₂）；  
③

f(x1)-f( x2)

x1-x2

＞0；           ④f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f( x2)

2

．
上述结论中正确结论的序号是______．

Answer 1

对于①，f（x₁+x₂）=

1

x1+x2

，f（x₁）+f（x₂）=

1

x1

+

1

x2

，显然f（x₁+x₂）≠f（x₁）+f（x₂），故①不正确；
对于②，f（x₁x₂）=

1

x1x2

，f（x₁）f（x₂）=

1

x1

•

1

x2

=

1

x1x2

，有f（x₁x₂）=f（x₁）f（x₂）成立，故②正确；
对于③，取x₁=1，x₂=2，则f（x₁）=1，f（x₂）=

1

2

，可得

f(x1)-f( x2)

x1-x2

=

1- 1 2

1-2

=-

1

2

＜0，故③不正确；
对于④，f（

x1+x2

2

）=

2

x1+x2

，

f(x1)+f( x2)

2

=

1

2

(

1

x1

+

1

x2

)=

x1+x2

2x1x2

∴f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f( x2)

2

=-

(x1-x2)2

x1x2(x1+x2)

∵x₁＞0且x₂＞0且x₁≠x₂
∴f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f( x2)

2

＜0，可得f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f( x2)

2

，故④正确．
故答案为：②④