Question

14．数列{a_n}满足a₁=2，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+3{a_n}}}$，令${b_n}=\frac{1}{a_n}$
（Ⅰ）求证：{b_n}为等差数列；         
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+3{a_n}}}$两边取倒数、整理即得结论；
（Ⅱ）通过（I）知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{6n-5}{2}$，取倒数后即得结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+3{a_n}}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1+3{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3，
即b_n+1=b_n+3，
∴数列{b_n}是公差为3的等差数列；         
（Ⅱ）解：由（I）知b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+3（n-1）=$\frac{1}{2}$+3（n-1）=$\frac{6n-5}{2}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{2}{6n-5}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．