Question

9．在等差数列{a_n}中，Sn是其前n项和，a₁=-2010，$\frac{{{S_{2008}}}}{2008}-\frac{{{S_{2006}}}}{2006}$=2，则S₂₀₁₀=（　　）

• A． -2009
• B． 2009
• C． -2010
• D． 2010

Answer 1

分析 利用等差中项可知$\frac{{{S_{2008}}}}{2008}-\frac{{{S_{2006}}}}{2006}$=$\frac{1}{2}$（a₁₀₀₅-a₁₀₀₃），进而可知公差d=2，计算即得结论．

解答 解：记等差数列{a_n}的公差为d，
依题意，$\frac{{{S_{2008}}}}{2008}-\frac{{{S_{2006}}}}{2006}$
=$\frac{1}{2008}$[（a₁+a₂₀₀₈）+（a₂+a₂₀₀₇）+…+（a₁₀₀₄+a₁₀₀₅）]-$\frac{1}{2006}$[（a₁+a₂₀₀₆）+（a₂+a₂₀₀₅）+…（a₁₀₀₃+a₁₀₀₄）]
=$\frac{1004}{2008}$（a₁₀₀₄+a₁₀₀₅）-$\frac{1003}{2006}$（a₁₀₀₃+a₁₀₀₄）
=$\frac{1}{2}$（a₁₀₀₅-a₁₀₀₃）
=d
=2，
又∵a₁=-2010，
∴数列{a_n}是以-2010为首项、2为公差的等差数列，
∴S₂₀₁₀=2010•（-2010）+$\frac{2010•（2010-1）}{2}$•2
=-2010，
故选：C．

点评 本题考查等差数列的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．