Question

4．在△ABC中，A，B，C是三角形的三内角．设tan$\frac{A+B}{2}+tan\frac{C}{2}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
（1）若sinB•sinC=cos²$\frac{A}{2}$，求A，B，C的值；
（2）若C为锐角，求sinA+sinB的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角形内角和定理与诱导公式可得$tan\frac{A+B}{2}$=$\frac{1}{tan\frac{C}{2}}$．由$tan\frac{A+B}{2}+tan\frac{C}{2}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，解得tan$\frac{C}{2}$．可得C．由$sinB．sinC={cos}^2\frac{A}{2}$，利用倍角公式与和差公式可得：cos（B-C）=1，即可得出．
（2）由（1）及已知得，C=$\frac{π}{3}$，A+B=$\frac{2π}{3}$．再利用诱导公式与和差公式、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵A+B+C=π，∴$tan\frac{A+B}{2}$=$\frac{1}{tan\frac{C}{2}}$．
由$tan\frac{A+B}{2}+tan\frac{C}{2}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，可得：$\frac{1}{tan\frac{C}{2}}$+$tan\frac{C}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得tan$\frac{C}{2}$=$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
又C∈（0，π）．
∴C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
由于$sinB．sinC={cos}^2\frac{A}{2}$，
∴sinBsinC=$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{1-cos（B+C）}{2}$，
∴2sinBsinC=1-（cosBcosC-sinBsinC），
∴cos（B-C）=1，
∴B=C．
∴$B=C=\frac{π}{3}$，而B=C=$\frac{2π}{3}$舍去．
∴A=C=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）及已知得，C=$\frac{π}{3}$，
∴A+B=$\frac{2π}{3}$．
∴sinA+sinB=sinA+sin$（\frac{2π}{3}-A）$
=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA$
=$\frac{3}{2}sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}cosA$
=$\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$，
∵$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，
∴$（A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$．
∴$sin（A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$．
故sinA+sinB的取值范围是$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、倍角公式、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．