Question

7．设z₁，z₂是复数，给出下列四个命题：
①若|z₁-z₂|=0，则$\overline{{z}_{1}}$=$\overline{{z}_{2}}$                 ②若z₁=$\overline{{z}_{2}}$，则$\overline{{z}_{1}}$=z₂
③若|z₁|=|z₂|，则z₁•$\overline{{z}_{1}}$=z₂•$\overline{{z}_{2}}$          ④若|z₁|=|z₂|，则z₁²=z₂²
其中真命题的序号是①②③．

Answer 1

分析 由复数的模为0，可知复数为0判断①；由复数相等，可知其共轭复数相等判断②；由公式$|z{|}^{2}=z•\overline{z}$判断③；举例说明④错误．

解答 解：①由|z₁-z₂|=0，得z₁-z₂=0，∴z₁=z₂，则$\overline{{z}_{1}}$=$\overline{{z}_{2}}$，故①正确；
②若z₁=$\overline{{z}_{2}}$，则$\overline{{z}_{1}}$=$\overline{\overline{{z}_{2}}}={z}_{2}$，故②正确；
③若|z₁|=|z₂|，则$|{z}_{1}{|}^{2}=|{z}_{2}{|}^{2}$，即z₁•$\overline{{z}_{1}}$=z₂•$\overline{{z}_{2}}$，故③正确；
④取z₁=1，z₂=i，满足|z₁|=|z₂|，而z₁²=1，${{z}_{2}}^{2}=-1$，z₁²≠z₂²，故④错误．
∴正确命题的序号是①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查复数的基本概念，是中档题．