Question

16．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）点有顶点A，O为坐标原点，以A为圆心与双曲线C的一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}$=2$\overrightarrow{OP}$，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{39}}{6}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，A（a，0），P（m，$\frac{bm}{a}$），（m＞0），由向量共线的坐标表示，可得Q的坐标，求得弦长|PQ|，运用中点坐标公式，可得PQ的中点坐标，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得m=$\frac{2{a}^{3}}{3{c}^{2}}$，r=$\frac{2{a}^{2}}{3c}$，运用圆的弦长公式计算即可得到a，b的关系，即可求出离心率．

解答 解：设双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，A（a，0），
P（m，$\frac{bm}{a}$），（m＞0），由$\overrightarrow{OQ}$=2$\overrightarrow{OP}$，可得Q（2m，$\frac{2bm}{a}$），
圆的半径为r=|PQ|=m$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=m•$\frac{c}{a}$，PQ的中点为H（$\frac{3}{2}$m，$\frac{3bm}{2a}$），
由AH⊥PQ，可得$\frac{3bm}{a（3m-2a）}$=-$\frac{a}{b}$，
解得m=$\frac{2{a}^{3}}{3{c}^{2}}$，r=$\frac{2{a}^{2}}{3c}$．
A到渐近线的距离为d=$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$，则|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=r，
d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，即有$\frac{ab}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2{a}^{2}}{3c}$．
可得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选：B

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及圆的弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．