Question

11．设函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a＞0）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若?x₁、x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）≤f（x₂）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{-x（x-2）}{{e}^{x}}$，令f′（x）=0，解得x=0，2．列表如下，即可得出极值．
（2）?x₁、x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）≤f（x₂）成立?[g（x）]_min≤[f（x）]_max，x∈（0，+∞）．由（1）可得：[f（x）]_max=f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$．再利用导数研究函数g（x）的单调性即可得出极小值即最小值．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2x{e}^{2}-{x}^{2}{e}^{x}}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{-x（x-2）}{{e}^{x}}$，
令f′（x）=0，解得x=0，2．
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

可知：当x=0时，函数f（x）取得极小值，f（0）=0．当x=2时，函数f（x）取得极大值，f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$．
（2）?x₁、x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）≤f（x₂）成立，?[g（x）]_min≤[f（x）]_max，x∈（0，+∞）．
由（1）可得：[f（x）]_max=f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$（x＞0，a＞0）．
可知：当x=a时，函数g（x）取得极小值即最小值，
∴g（a）=lna+1≤$\frac{4}{{e}^{2}}$．
∴0＜a≤${e}^{\frac{4-{e}^{2}}{{e}^{2}}}$．
因此a的取值范围是$（0，{e}^{\frac{4-{e}^{2}}{{e}^{2}}}]$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．