Question

9．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）半实轴长为4，半虚轴长为3；
（2）实轴长为12，焦距为14，焦点在y轴上；
（3）渐近线方程为y=±$\frac{3}{5}$x，焦点坐标为（±$\sqrt{2}$，0）．

Answer 1

分析 根据双曲线的定义与简单几何性质，求出双曲线的标准方程即可．

解答 解：（1）半实轴长为a=4，半虚轴长为b=3，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1或$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1；
（2）实轴长为2a=12，焦距为2c=14，
∴a=6，c=7，
∴b²=c²-a²=49-36=13，
又焦点在y轴上，
∴双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{36}$-$\frac{{x}^{2}}{13}$=1；
（3）渐近线方程为y=±$\frac{3}{5}$x，焦点坐标为（±$\sqrt{2}$，0），
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{5}$，c=$\sqrt{2}$，
∴c²=a²+b²=a²+$\frac{9}{25}$a²=$\frac{34}{25}$a²=2，
解得a²=$\frac{25}{17}$，b²=$\frac{9}{17}$；
∴$\frac{{17x}^{2}}{25}$-$\frac{{17y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查了双曲线的定义、标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题目．