Question

单位向量

a

、

b

所成角为θ，任意向量

c

满足（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0．
（1）当θ=90°，求|

c

|的最大值；
（2）当θ=60°，求|

c

|的最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）首先求出

a

•

b

=0，|

a

+

b

|=

2

，再将（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，化简得到|

c

|=

2

cosα，由余弦函数的值域即可得到最大值；
（2）首先求得

a

•

b

=

1

2

，|

a

+

b

|=

3

，再将（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，化简得到

1

2

+|

c

|²=

3

|

c

|cosα，再由余弦函数的值域：|cosα|≤1得到不等式，解出即可得到最小值．

解答： 解：（1）由于单位向量

a

、

b

所成角为θ，且θ=90°，
则

a

•

b

=0，|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

2

，
由任意向量

c

满足（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，
即有

a

•

b

+

c

2-

c

•（

a

+

b

）=0，
即|

c

|²=|

c

|•|

a

+

b

|•cosα，
则|

c

|=0或

2

cosα，
显然当

c

与

a

+

b

的夹角α=0，则有|

c

|有最大值，且为

2

；
（2）由于单位向量

a

、

b

所成角为θ，且θ=60°，
则

a

•

b

=

1

2

，|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

3

，
由任意向量

c

满足（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，
即有

a

•

b

+

c

2-

c

•（

a

+

b

）=0，
即

1

2

+|

c

|²=|

c

|•|

a

+

b

|•cosα=

3

|

c

|cosα，
由|cosα|≤1得，

1 2 +| c|2

3 | c |

≤1，解得

3 -1

2

≤|

c

|≤

3 +1

2

．
则|

c

|的最小值

3 -1

2

．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义及性质，考查运算能力，同时考查三角函数的性质，属于中档题．