Question

（2013•深圳一模）已知函数f(x)=2sin(

πx

6

+

π

3

)(0≤x≤5)，点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．
（1）求点A、B的坐标以及

OA

•

OB

的值；
（2）设点A、B分别在角α、β的终边上，求tan（α-2β）的值．

Answer 1

分析：（1）根据x的范围以及正弦函数的定义域和值域，求得-

1

2

≤sin(

πx

6

+

π

3

)≤1，由此求得图象上的最高顶、最低点的坐标及

OA

•

OB

的值．
（2）由点A（1，2）、B（5，-1）分别在角α、β的终边上，求得tanα、tanβ的值，从而利用二倍角公式求得tan2β的值，再利用两角和的正切公式求得tan（α-2β）的值．

解答：解：（1）∵0≤x≤5，∴

π

3

≤

πx

6

+

π

3

≤

7π

6

，…（1分）
∴-

1

2

≤sin(

πx

6

+

π

3

)≤1．  …（2分）
当

πx

6

+

π

3

=

π

2

，即x=1时，sin(

πx

6

+

π

3

)=1，f（x）取得最大值2；
当

πx

6

+

π

3

=

7π

6

，即x=5时，sin(

πx

6

+

π

3

)=-

1

2

，f（x）取得最小值-1．
因此，点A、B的坐标分别是A（1，2）、B（5，-1）．   …（4分）
∴

OA

•

OB

=1×5+2×(-1)=3．   …（6分）
（2）∵点A（1，2）、B（5，-1）分别在角α、β的终边上，
∴tanα=2，tanβ=-

1

5

，…（8分）
∵tan2β=

2×(- 1 5 )

1-(- 1 5 )2

=-

5

12

，…（10分）
∴tan(α-2β)=

2-(- 5 12 )

1+2•(- 5 12 )

=

29

2

． …（12分）

点评：本小题主要考查了三角函数f（x）=Asin（ωx+?）的图象与性质，三角恒等变换，以及平面向量的数量积等基础知识，
考查了简单的数学运算能力，属于中档题．