Question

（2013•深圳一模）已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a≠0），an+2=p•

an+12

an

（其中p为非零常数，n∈N^*）．
（1）判断数列{

an+1

an

}是不是等比数列？
（2）求a_n；
（3）当a=1时，令bn=

nan+2

an

，S_n为数列{b_n}的前n项和，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+2=p•

an+12

an

可求得

an+2

an+1

=p•

an+1

an

，利用等比数列的定义即可判断数列{

an+1

an

}是否为等比数列；
（2）利用累乘法a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a₁=（ap^n-2）×（ap^n-3）×…×（ap⁰）×1即可求得a_n；
（3）当a=1时，b_n=

nan+2

pan

=np^2n-1，利用错位相减法与分类讨论思想即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）由a_n+2=p•

an+12

an

得

an+2

an+1

=p•

an+1

an

 …（1分）
令c_n=

an+1

an

，则c₁=a，c_n+1=pc_n．
∵a≠0，
∴c₁≠0，故

cn+1

cn

=p（非零常数），
∴数列{

an+1

an

}是等比数列，…（3分）
（2）∵数列{c_n}是首项为a，公比为p的等比数列，
∴c_n=c₁•p^n-1=a•p^n-1，
即

an+1

an

=ap^n-1．          …（4分）
当n≥2时，a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a₁=（ap^n-2）×（ap^n-3）×…×（ap⁰）×1=a^n-1p

n2-3n+2

2

，…（6分）
∵a₁满足上式，
∴a_n=a^n-1p

n2-3n+2

2

，n∈N^*．        …（7分）
（3）∵

an+2

an

=

an+2

an+1

•

an+1

an

=（apⁿ）×（a•p^n-1）=a²p^2n-1，
∴当a=1时，b_n=

nan+2

pan

=np^2n-1．    …（8分）
∴S_n=1×p¹+2×p³+…+n×p^2n-1，①
p²S_n=1×p³+…+（n-1）p^2n-1+n×p²ⁿ⁺¹②
∴当p²≠1，即p≠±1时，①-②得：（1-p²）S_n=p¹+p³+…+p^2n-1-np²ⁿ⁺¹，
∴S_n=

p(1-p2n)

(1-p2)2

-

np2n+1

1-p2

，p≠±1．　            …（11分）
而当p=1时，S_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，…（12分）
当p=-1时，S_n=（-1）+（-2）+…+（-n）=-

n(n+1)

2

．…（13分）
综上所述，S_n=

n(n+1) 2 ，p=1 - n(n+1) 2 ，p=-1 p(1-p2n) (1-p2)2 - np2n+1 1-p2 ，p≠±1

…（14分）

点评：本题考查等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想，属于难题．