Question

【题目】(2015·湖南)如下图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E、F分别是BC、CC1的中点.

(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；

(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】(1)证明：如图，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1，

又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，又AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.

(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD，因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1，因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，由题设知∠CA1D＝45°，

所以A1D＝CD＝AB＝，在Rt△AA1D中，AA1＝，所以FC＝AA1＝，故三棱锥F－AEC的体积V＝

S△AEC×FC＝.