Question

【题目】在数列中，已知，(n∈N*)

(1)求数列的通项公式

(2)若(λ为非零常数)，问是否存在整数λ使得对任意n∈N*都有？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

(1)由已知，得an=Sn﹣1+3n﹣4（n≥2），利用an与sn的关系，两式相减，an+1+3=2（an+3）（n≥2），初步判断新数列{an+3}具有等比数列的性质，再考虑n=1的情形；

(2)写出数列{bn}的通项，首先假设存在λ使得满足题意，然后计算化简bn+1﹣bn，再结合恒成立问题进行转化，将问题转化为：对任意的n∈N*恒成立．然后分n为奇偶数讨论即可获得λ的范围，再结合为整数即可获得问题的解答．

(1)由an+1=Sn+3n﹣1（n∈N*）①

得an=Sn﹣1+3n﹣4（n≥2）②

①﹣②得an+1=2an+3（n≥2）

∴an+1+3=2（an+3）（n≥2）

又由②得 a2=S1+6﹣4=a1+2=1

∴a2+3=4

∴a2+3=2（a1+3）

∴an+1+3=2（an+3）（n≥1）

∵a1+3≠0，∴an+3≠0，∴

∴数列{an+3}是首项为2，公比为2的等比数列

∴an+3=2×2n﹣1=2n

∴数列{an}的 an=2n﹣3（n≥1）

(2)由(1)可得 bn=3n+（﹣1）n﹣1λ2n

bn+1=3n+1+（﹣1）nλ2n+1

要使bn+1＞bn恒成立，只需bn+1﹣bn=23n﹣3λ（﹣1）n﹣12n＞0恒成立，

即恒成立

当n为奇数时，恒成立 而的最小值为1∴λ＜1

当n为偶数时，恒成立 而最大值为∴

即λ的取值范围是1＞，且λ≠1

又λ为整数．

∴存在λ=﹣1或0，使得对任意n∈N*都有bn+1＞bn．