Question

【题目】设函数f（x）=xex﹣ae2x（a∈R）
（I）当a≥ 时，求证：f（x）≤0．
（II）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（ I）证明：f（x）=xex﹣ae2x=ex（x﹣aex）
∵ex＞0，只需证：当 即可，
g（x）=x﹣aex ， g'（x）=1﹣aex=0
∴ ，
∴ ，

∴当 从而当 时，f（x）≤0
（ II）f'（x）=（x+1）ex﹣2ae2x=ex（x+1﹣2aex）
函数f（x）有两个极值点，等价于y=f'（x）有两个变号零点
即方程 有两个不相同的根
设 ， ，x∈（﹣∞，0），h'（x）＞0，h（x）递增；x∈（0，+∞），h'（x）＜0，h（x）递减，
h（x）max=h（0）=1，h（﹣1）=0，
x＞﹣1，h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，x→﹣∞，h（x）→﹣∞
当 有两个交点
方程 有两个不相同的根，函数f（x）有两个极值点
【解析】（Ⅰ）利用分析法，构造函数g（x）=x﹣aex ， 利用导数和函数的最值的关系即可求出，（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点，等价于y=f'（x）有两个变号零点，即方程 有两个不相同的根，构造函数 ，利用导数求出函数的最值，问题得以解决．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．