Question

5、函数f（x）=x²+ax+5对x∈R恒有f（-2+x）=f（-2-x），若x∈[m，0]（m＜0）时，f（x）的值域为[1，5]，则实数m的取值范围是

[-4，-2]

．

Answer 1

分析：根据f（-2+x）=f（-2-x）得a的值为4，则f（x）=x²+4x+5=（x+2）²+1的最小值为1，与y轴交点为（0，5），因为若x∈[m，0]（m＜0）时，f（x）的值域为[1，5]，所以根据二次函数的图象可知m的取值．

解答：解：根据f（-2+x）=f（-2-x）得此二次函数的对称轴为直线x=-2，得到a=4．
所以f（x）=x²+4x+5=（x+2）²+1是以x=-2为对称轴的抛物线；其最小值为1．
又因为若x∈[m，0]（m＜0）时，f（x）的值域为[1，5]，
所以m≤-2时，函数才能取到顶点；
同时因为令y=5时，x=-4或0，所以m≥-4
则-4≤m≤-2
故答案为[-4，-2]

点评：考查学生利用函数值域求函数自变量范围的能力，以及函数与方程的综合运用能力．