Question

【题目】设函数f(x)的定义域为R，并且图象关于y轴对称，当x≤－1时，y＝f(x)的图象是经过点(－2,0)与(－1,1)的射线，又在y＝f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2)，且经过点(1,1)的一段抛物线．

(1)试求出函数f(x)的表达式，作出其图象；

(2)根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数是增函数还是减函数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）利用待定系数法求出，结合奇偶性求出，最后利用待定系数法求出，作出图即可；（2）根据图形的上升、下降趋势得到单调性.

(1)当x≤－1时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由已知得

解得，所以f(x)＝x＋2(x≤－1)．

由于函数图象关于y轴对称，则由x≥1，得－x≤－1，f(－x)＝－x＋2，

且f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－x＋2(x≥1)．

当－1<x<1时，设f(x)＝mx2＋2，由已知得m＝－1，即f(x)＝－x2＋2(－1<x<1)，所以函数f(x)的表达式为f(x)＝图象如图所示：

.

(2)从图象可看出，函数f(x)的单调区间有(－∞，－1]，(－1,0]，(0,1)，[1，＋∞)．

其中，f(x)在区间(－∞，－1]和(－1,0]上是增函数；在区间(0,1)和[1，＋∞)上是减函数．