Question

（2013•东城区二模）已知数列{a_n}，a₁=1，a_2n=a_n，a_4n-1=0，a_4n+1=1（n∈N^*）．
（1）求a₄，a₇；
（2）是否存在正整数T，使得对任意的N∈N^*，有a_n+T=a_n；
（3）设S=

a1

10

+

a2

10

+

a3

10

+…+

an

10

+…，问S是否为有理数，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，a₄=a₂=a₁，a₇=a_4×2-1，结合已知可求
（2）假设存在正整数T使得对任意的n∈N^*满足条件，然后分类讨论：分T为奇数，设T=2t-1（t∈N^*），及T为偶数，设T=2t（t∈N^*），两种情况进行推理，推到出矛盾即可证明
（3）若S为有理数，即S为无限循环小数，则存在正整数N₀，T，对任意的n∈N^*，且n≥N₀，有a_n+T=a_n，结合（2）的讨论分T为奇数，T为偶数，两种情况进行讨论即可求解

解答：解：（1）由题意可得，a₄=a₂=a₁=1，a₇=a_4×2-1=0
（2）假设存在正整数T使得对任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n；
则存在无数个正整数T使得对任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n；．
设T为其中最小的正整数．
若T为奇数，设T=2t-1（t∈N^*），
则a_4n+1=a_4n+1+T=a_4n+1+2t-1=a_4（n+t）=0
与已知a_4n+1=1矛盾．
若T为偶数，设T=2t（t∈N^*），
则a_2n+T=a_2n=a_n，
而a_2n+T=a_2n+2t=a_n+t
从而a_n+T=a_n．
而t＜T与T为其中最小的正整数矛盾．
综上，不存在正整数T，使得对任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n．
（3）若S为有理数，即S为无限循环小数，
则存在正整数N₀，T，对任意的n∈N^*，且n≥N₀，有a_n+T=a_n．
与（Ⅱ）同理，设T为其中最小的正整数．
若T为奇数，设T=2t-1（t∈N^*），
当4n+1≥N₀时，有a_4n+1=a_4n+1+T=a_4n+1+2T=a_4（n+t）-1=0．
与已知a_4n+1=1矛盾．
若T为偶数，设T=2t（t∈N^*），
当n≥N₀时，有a_2n+T=a_2n=a_n，
而a_2n+T=a_2n+2t=a_n+t
从而a_n+t=a_n
而t＜T，与T为其中最小的正整数矛盾．
故S不是有理数．            …（13分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，解答本题要求考生具有一定的逻辑推理与运算的能力