Question

已知函数f(x)=

1

x

-2．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）证明函数f(x)=

1

x

-2在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析：（1）根据使函数的解析式有意义的原则，我们易求出函数的解析式，根据反比例函数的性质，我们易求出函数的值域；
（2）任取区间（0，+∞）上两个任意的实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，我们作差f（x₁）-f（x₂），并判断其符号，进而根据函数单调性的定义，可得到结论．

解答：解：（1）要使函数f(x)=

1

x

-2的解析式有意义
自变量应满足x≠0
故f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
由于

1

x

≠0，则

1

x

-2≠-2
故f（x）的值域为（-∞，-2）∪（-2，+∞）
（2）任取区间（0，+∞）上两个任意的实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则x₁＞0，x₂＞0，x₂-x₁＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=（

1

x1

-2）-（

1

x2

-2）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1•x2

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
故函数f(x)=

1

x

-2在（0，+∞）上是减函数

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数的定义域及其求法，函数的值域，其中熟练掌握基本初等函数的定义域，值域，及函数单调性的证明方法是解答本题的关键．