Question

已知f（x）=e^x-e^-x，g（x）=e^x+e^-x，其中e=2.718…．
（1）求[f（x）]²-[g（x）]²的值；
（2）设f（x）•f（y）=4，g（x）•g（y）=8，求

g(x+y)

g(x-y)

的值．

Answer 1

分析：（1）利用平方差公式，代入计算可得结论；
（2）利用f（x）•f（y）=4，g（x）•g（y）=8，可得

g(x+y)-g(x-y)=4 g(x+y)+g(x-y)=8

，解得g（x+y）=6，g（x-y）=2，即可得到结论．

解答：解：（1）[f（x）]²-[g（x）]²=[f（x）+g（x）]•[f（x）-g（x）]=2e^x•（-2e^-x）=-4e⁰=-4．
（2）f（x）•f（y）=（e^x-e^-x）•（e^y-e^-y）
=e^x+y+e^-（x+y）-e^x-y-e^-（x-y）
=g（x+y）-g（x-y）=4，①
g（x）•g（y）=（e^x+e^-x）（e^y+e^-y）
=e^x+y+e^-（x+y）+e^x-y+e^-（x-y）
=g（x+y）+g（x-y）=8．②
联立①②得

g(x+y)-g(x-y)=4 g(x+y)+g(x-y)=8

解得g（x+y）=6，g（x-y）=2，
所以

g(x+y)

g(x-y)

=3．

点评：本题考查函数与方程的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．