【题目】已知离心率为的椭圆过点,点分别为椭圆的左、右焦点,过的直线与交于两点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:以 为直径的圆过坐标原点.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】试题分析:
(1)利用离心率结合椭圆所过的点得到关系 的方程组,求解方程组即可求得椭圆的标准方程;
(2)分类讨论,当斜率不存在的时候单独考查,当斜率存在的时候设出直线方程,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理和平面向量的结论证得 即可.
试题解析:
(Ⅰ)点, 分别为椭圆的左右焦点,椭圆的方程为;
由离心率为得: ;
过点得: ;
所以, , ;椭圆方程为;
(Ⅱ)由(1)知, ;令, ;
当直线的斜率不存在时,直线方程为;
此时, ,不满足;设直线方程为;
代入椭圆方程得:
韦达定理: , ;
所以, ,
;
所以, ;
点到直线的距离为;
所以,由得: ;
所以,以为直径的圆过坐标原点
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【题目】对于数列{an},定义 为{an}的“优值”,现在已知某数列{an}的“优值” ,记数列{an﹣kn}的前n项和为Sn , 若Sn≤S5对任意的n∈N+恒成立,则实数k的最大值为 .
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线: ,曲线: (为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线, 的极坐标方程;
(Ⅱ)曲线: (为参数, , )分别交, 于, 两点,当取何值时, 取得最大值.
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【题目】已知圆和点,动圆经过点且与圆相切,圆心的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程;
(2)点是曲线与轴正半轴的交点,点在曲线上,若直线的斜率满足求面积的最大值.
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【题目】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asinA+csinC﹣ asinC=bsinB, (Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若A=75°,b=2,求a,c.
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【题目】选修4-4;坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线.
(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程.
(Ⅱ)求曲线上的点到直线的距离的最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系中,曲线的参数方程为:(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
(2)将曲线经过伸缩变换后得到曲线,若分别是曲线和曲线上的动点,求的最小值.
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【题目】天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为50%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率:先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数,用0,1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )
A. 0.30 B. 0.35 C. 0.40 D. 0.50
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