Question

【题目】已知函数.

(1) 若函数在点处的切线方程为，求的值；

(2) 若，求函数在区间上的最小值；

(3) 对任意的，都有，求正实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 见解析(3) .

【解析】试题分析：（1）求出导数，由，即可解得 ；（2）求出导函数，令导函数为求出根，通过讨论根与区间的关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值与区间端点函数值比较，即可得函数的最小值；（3）由题意可得在递增.通过构造函数求出导数，结合二次函数的性质，解不等式即可得到的范围.

试题解析：(1) ，函数点处的切线斜率为，在点处的切线方程为，则，计算得出；

(2) ，

令得（舍）或，

当时， 在单调递减，在上单调递增

所以；

当时， 在上单调递减，所以.

即有当时， ；

当时， .

(3)对任意的，都有，

即为在递增．

因为， ， 在恒成立，

即有在恒成立，即有令，对称轴， ，则判别式，

即，计算得出．则有的取值范围为.