【题目】已知函数
(1)讨论函数的单凋性;
(2)若存在使得对任意的
不等式
(其中e为自然对数的底数)都成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:
(1)首先求解导函数,然后利用二次函数的性质结合导函数的分子分类讨论函数的单调区间即可;
(2)将问题进行等价转化,构造 ,结合函数
的性质求解实数
的取值范围即可.
试题解析:
(I)
,记
(i)当时,因为
,所以
,函数
在
上单调递增;
(ii)当时,因为
,
所以,函数
在
上单调递增;
(iii)当时,由
,解得
,
所以函数在区间
上单调递减,
在区间上单调递增.
(II)由(I)知当时,函数
在区间
上单调递增,
所以当时,函数
的最大值是
,对任意的
,
都存在,使得不等式
成立,
等价于对任意的,不等式
都成立,
即对任意的,不等式
都成立,
记,由
,
,
由得
或
,因为
,所以
,
①当时,
,且
时,
,
时,
,所以
,
所以时,
恒成立;
②当时,
,因为
,所以
,
此时单调递增,且
,
所以时,
成立;
③当时,
,
,
所以存在使得
,因此
不恒成立.
综上, 的取值范围是
.
另解(II)由(Ⅰ)知,当时,函数
在区间
上单调递增,
所以时,函数
的最大值是
,
对任意的,都存在
,
使得不等式成立,
等价于对任意的,不等式
都成立,
即对任意的,不等式
都成立,
记,
由,且
∴对任意的,不等式
都成立的必要条件为
又,
由得
或
因为,所以
,
当时,
,且
时,
,
时,
,所以
,
所以时,
恒成立;
②当时,
,因为
,所以
,
此时单调递增,且
,
所以时,
成立.
综上, 的取值范围是
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的极坐标方程及直线
的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线
交于
两点,求
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】过点作抛物线
的两条切线, 切点分别为
,
.
(1) 证明: 为定值;
(2) 记△的外接圆的圆心为点
, 点
是抛物线
的焦点, 对任意实数
, 试判断以
为直径的圆是否恒过点
? 并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某商场对某一商品搞活动,已知该商品每一个的进价为3元,销售价为8元,每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天的这种商品销量,如图所示:设为每天商品的销量,
为该商场每天销售这种商品的的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天,则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示),记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1、s2、s3,则它们的大小关系为__________.(用“>”连接)
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